分数分解计算器是一款强大的数学工具，它可以将复杂的有理表达式（包含多项式的分数）分解为更简单、更易于处理的分数之和。这个过程也称为部分分数分解，是代数中的一项基本技巧，在微积分中尤为重要。分解分数的主要目的是将复杂的表达式转换为更易于积分或用于其他高级数学运算的形式。这款计算器可以自动执行求简单分数所需的复杂代数步骤，使其成为学生和工程师的宝贵助手。
分数分解计算器公式
分式分解的过程适用于真有理表达式，其中分子多项式的次数小于分母多项式的次数。
给定一个表达式：
P(x) / Q(x)
地点：
- P(x) = 分子多项式
- Q(x) = 分母多项式
分数分解的步骤如下：
- 将分母 Q(x) 完全分解为不可约线性或二次因子。
- 根据分母中的因数类型设置部分分数的和。
- 对于每个不同的线性因子（如 (x − a)），相应的部分分式为：
A / (x − a) - 对于每个重复的线性因子，如 (x − a)ⁿ，相应的部分分式为：
A₁ / (x − a) + A2 / (x − a)² + ... + Aₙ / (x − a)ⁿ - 对于每个不可约二次因式，如 (x² + bx + c)，相应的部分分式为：
(Ax + B) / (x² + bx + c)
- 对于每个不同的线性因子（如 (x − a)），相应的部分分式为：
- 将新等式的两边乘以原始因式分解的分母 Q(x)，以消除所有分数。
- 展开得到的表达式并合并同类项。
- 通过使等式两边 x 的同幂系数相等来求解未知常数系数（A、B 等）。
部分分式分解规则总结
该表根据原始表达式分母中的因数类型总结了要使用的部分分数的形式。
| 分母中的因子类型 Q(x) | 对应的部分分式 |
| 不同线性：（x - a） | A / (x - a) |
| 重复线性：（x - a）ⁿ | A₁/(x - a) + A2/(x - a)² + ... + Aₙ/(x - a)ⁿ |
| 不可约二次方程：（x² + bx + c） | (Ax + B) / (x² + bx + c) |
分数分解计算器示例
让我们分解有理表达式： (5x - 3) / (x² - 2x - 3)
步骤 1：分解分母。
x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
这些因素是独特的、线性的。
第 2 步：设置部分分式。
(5x - 3) / ((x - 3)(x + 1)) = A / (x - 3) + B / (x + 1)
步骤 3：将两边乘以分母 (x - 3)(x + 1) 以清除分数。
5x - 3 = A(x + 1) + B(x - 3)
步骤 4：求解未知常数 A 和 B。一种方便的方法是用分母的根代替 x。
- 为了找到 A，令 x = 3：
5(3) - 3 = A(3 + 1) + B(3 - 3)
15 - 3 = A(4) + B(0)
12 = 4A
A = 3 - 要找到 B，令 x = -1：
5(-1) - 3 = A(-1 + 1) + B(-1 - 3)
-5 - 3 = A(0) + B(-4)
-8 = -4B
B = 2
第五步：写出最终的分解形式。
将 A 和 B 的值代入步骤 2 的设置中。
(5x - 3) / (x² - 2x - 3) = 3 / (x - 3) + 2 / (x + 1)
最常见的常见问题解答
在微积分中，用标准方法直接对复杂的有理函数进行积分可能极其困难，甚至不可能。通过将函数分解为多个更简单的分式之和，可以将一个复杂的积分问题转化为几个简单的问题。得到的简单分式通常可以使用一些基本规则进行积分，例如自然对数法则或幂法则。
如果分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则有理表达式被认为是非真分数。在进行部分分式分解之前，必须先使用多项式长除法。这会将表达式重写为一个多项式加上一个新的真分数。然后将分解过程应用于新的真分数部分。
不可约二次因式是指不能仅使用实数进一步分解为线性因式的二次表达式（例如 x² + x + 1）。当二次公式的判别式 (b² - 4ac) 为负时，就会出现这种情况。这些因式在其部分分式的分子中需要不同的形式，即 (Ax + B)。