高斯消元法在线计算器

高斯消去计算器是一个强大的 数学的 用于使用称为高斯消去法的方法求解线性方程组的工具。此过程涉及三种类型的基本行运算，将矩阵简化为易于解释以找到解决方案的形式。这些解决方案在从工程到经济学的各个领域都至关重要，使得计算器对于学生、专业人士和研究人员来说至关重要。

基本行操作

• 行切换（交换）： 交换矩阵的两行。
• 行缩放（乘法）： 将行的所有元素乘以非零标量。
• 行加法（或减法）： 将一行的标量倍数与另一行相加（或相减）。

高斯消去算法

• 正向消除： 将矩阵转换为行阶梯形。
• 后场换人： 通过代入法求解所得方程组。

高斯消元法计算器公式

我们将增广矩阵表示为 [A | b]，其中 A 是系数矩阵，b 是常量的列向量。

• 行切换： 要互换行 i 和 j，请执行 Ri <-> Rj。
• 行缩放： 要将行 i 乘以标量 k，请执行 Ri -> k * Ri。
• 行加法（或减法）： 要将第 j 行的 k 倍数与第 i 行相加（或减去），请执行 Ri -> Ri + k * Rj。

常用术语换算表

下表包含通用术语及其定义，以帮助有效理解和使用高斯消去计算器：

按揭年数	定义
线性系统	涉及同一组变量的线性方程的集合。
系数矩阵	由线性方程中变量的系数组成的矩阵。
增广矩阵	通过将方程常数作为附加列附加到系数矩阵而获得的矩阵。
行梯形式	一种矩阵形式，其中所有前导条目均为 1，并且这些前导条目下方的所有元素均为 0。
领先进入	一行中的第一个非零元素，从左向右移动。
后退换人	当矩阵呈行梯形形式时，用于求系统解的方法。

高斯消元法计算器示例

问题：求解由下式给出的方程组：

3x + 4y – z = 5
2x – 2y + 4z = -2
-x + 0.5y – z = 0

使用高斯消去法的解决方案：

1. 构造增广矩阵：

| 3 4 -1 | 5 XNUMX -XNUMX XNUMX |
| 2 -2 4 | 2 -XNUMX XNUMX -XNUMX |
| -1 0.5 -1 | 0 |

2. 应用行运算实现行梯形形式：
   • R2 -> R2 - (2/3)R1
   • R3 -> R3 + (1/3)R1
3. 进一步简化以达到行梯形形式：
   • 继续应用行运算，直到增广矩阵（系数矩阵）的左侧部分形成上三角矩阵。
4. 回代求解：
   • 简化上三角矩阵并使用回代来求解变量。

行梯形形式的结果系统：

| 3 4 -1 | 5 XNUMX -XNUMX XNUMX |
| 0 -4.67 5.33 | -4.33 | -XNUMX
| 0 0 -0.33 | 0.33 XNUMX -XNUMX XNUMX | XNUMX

最终解决方案集：

x = 3，y = 2，z = -1

最常见的常见问题解答