余因子行列式计算器是一种简化使用余因子展开法确定矩阵行列式过程的工具。行列式是线性代数的基础，因为它们用于求解方程组、查找特征值和评估矩阵的可逆性。计算器自动执行计算次要矩阵的劳动密集型过程， 辅因子，并将它们相加得出准确的行列式值。
这个工具对于从事以下工作的学生、工程师和研究人员来说非常有价值： 数学的 涉及矩阵的建模、物理和计算问题。
余因子行列式计算器公式
矩阵 A 的行列式使用以下公式计算：
地点：
- Det(A)是矩阵A的行列式。
- aᵢⱼ是矩阵第 i 行第 j 列的元素。
- Cᵢⱼ 是 aᵢⱼ 的余因子，由以下公式给出：Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ
- Mᵢⱼ 是从矩阵中去掉第 i 行和第 j 列后得到的子式矩阵的行列式。
详细公式
- 小矩阵的行列式（Mᵢⱼ）：
对于大小为 (n-1) x (n-1) 的子矩阵，行列式按以下方式递归计算：
Mᵢⱼ = Σ (-1)^(k+1) × a1k × 次小式的行列式
地点：
- a1k表示子式矩阵第一行的元素。
- 递归计算Sub-Minor的行列式，直到达到最小矩阵（2×2）。
- 2×2 矩阵的行列式：
对于 2×2 矩阵：
[ab]
[光盘]
行列式（2×2）=（a×d）-（b×c）
- 辅因子（Cᵢⱼ）：
Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ - 代入行列式公式：
Det(A) = Σ (aᵢⱼ × Cᵢⱼ)
该求和适用于矩阵中选定的行或列的所有元素。
常见行列式计算表
| 矩阵大小 | 示例矩阵（简化） | 决定性价值 |
|---|---|---|
| 2 × 2 | [2 3] [4 5] | （2×5）-（3×4）= -2 |
| 3 × 3 | [1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] | 行列式 = 0 |
| 3 × 3 | [1 0 2] [0 3 0] [4 0 5] | 行列式 = -35 |
该表提供了预先计算的示例，以帮助用户理解常见矩阵大小的行列式计算。
辅因子行列式计算器示例
让我们计算 3×3 矩阵的行列式：
矩阵A：
1 2 3
4 5 6
7 8 9
- 选择第一行进行扩展：
Det(A)=a₁₁×C₁₁+a₁2×C₁2+a₁₃×C₁₃
= 1 × 碳₁₁ + 2 × 碳₁₂ + 3 × 碳₁₃ - 查找次要矩阵和余因式：
C₁₁ = (-1)^(1+1) × M₁₁ = M₁₁ = 行列式：[5 6] [8 9] = (5×9) – (6×8) = -3
C₁₂ = (-1)^(1+2) × M₁₂ = -M₁₂ = – 行列式：[4 6] [7 9] = -(4×9 – 6×7) = 6
C₁₃ = (-1)^(1+3) × M₁₃ = M₁₃ = 行列式：[4 5] [7 8] = (4×8) – (5×7) = -3 - 将辅因子代入公式：
检测 (A) = 1 × (-3) + 2 × 6 + 3 × (-3)
检测（A）= -3 + 12 – 9 = 0
矩阵A的行列式为0。
最常见的常见问题解答
1. 为什么行列式在线性代数中很重要？
行列式有助于评估矩阵是否可逆、求解线性方程组以及理解矩阵变换。
2. 余因子行列式计算器能处理大型矩阵吗？
是的，计算器可以计算任意大小矩阵的行列式，方法是自动执行 递归 子式和余因式的计算。
3. 如果行列式为零，这意味着什么？
如果行列式为零，则该矩阵为奇异矩阵，这意味着它没有逆，并且其行或列是线性相关的。