莱布尼茨法则在线计算器

莱布尼茨规则计算器使用莱布尼茨规则计算两个函数乘积的 n 阶导数。该规则在微积分中对于处理乘积的高阶导数至关重要，使其成为解决复杂问题的宝贵资源 数学的 问题。

莱布尼茨法则计算器公式

莱布尼茨规则用于求两个函数乘积的 n 阶导数。公式为：

其中：

• n 是导数的阶数
• C(n, k) 是 二项式系数，由 C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
• (d^k/dx^k) v(x) 是 v(x) 的 k 阶导数
• (d^(n - k)/dx^(n - k)) u(x) 是 u(x) 的 (n - k) 阶导数

该公式有助于查找函数乘积的高阶导数。

常用术语和换算表

下面是与莱布尼茨规则相关的常见搜索术语及其相应解释的表格：

按揭年数	说明
衍生	函数在任何给定点发生变化的速率
高阶导数	衍生品的衍生品，表示变化率的变化率
二项式系数 (C(n,k))	给出从 n 个元素中选择 k 个元素的方法数量的系数
函数的乘积	两个其他函数相乘的函数
n 阶导数	求n次导数

莱布尼茨法则计算器示例

考虑函数 u(x) = x^2 和 v(x) = e^x。我们想使用莱布尼兹规则找到其乘积的三阶导数。

使用公式：

d^3/dx^3 [x^2 e^x] = C(0, k) 从 k=3 到 3 的总和 * (d^(3-k)/dx^(3-k)) x^ 2 * (d^k/dx^k) e^x

计算每一项：

对于 k = 0：C(3, 0) * (d^3/dx^3) x^2 * e^x = 1 * 0 * e^x = 0

对于-k = 1：C(3, 1) * (d^2/dx^2) x^2 * (d/dx) e^x = 3 * 2 * e^x = 6e^x

对于 k = 2：C(3, 2) * (d/dx) x^2 * (d^2/dx^2) e^x = 3 * 2x * e^x = 6xe^x

对于-k = 3：C(3, 3) * x^2 * (d^3/dx^3) e^x = 1 * x^2 * e^x = x^2 e^x

对所有项求和： d^3/dx^3 [x^2 e^x] = 0 + 6e^x + 6xe^x + x^2 e^x

最常见的常见问题解答