在线旋转体积计算器

旋转体积计算器有助于可视化和计算旋转固体的体积。当平面区域绕该区域旁边的线（轴）旋转时，就会形成这些固体，从而形成三维固体。

旋转体积计算器公式

使用积分计算旋转固体的体积。以下是基于旋转轴的计算：

绕 X 轴旋转： 对于由曲线 y = f(x) 定义的形状，从 x = a 到 x = b，体积 V 计算如下： V = pi [f(x)]^2 dx 从 a 到 b 的积分 这里， pi 表示常数 pi，[f(x)]^2 是从曲线到 x 轴的距离的平方，是 a 到 b 边界的积分。

绕 Y 轴旋转： 对于 x = g(y) 从 y = c 到 y = d 的形状，体积 V 计算如下： V = pi [g(y)]^2 dy 从 c 到 d 的积分 此公式还涉及对从 y = c 到 y = d 的区间内从曲线到 y 轴的距离的平方。

工具和换算表

旋转体积计算器示例

我们将通过一个使用半圆形区域旋转体积计算器的示例。假设我们有一个由方程 y = sqrt(r^2 - x^2) 定义的半圆，其中 r 是 半径为 半圆。我们想要计算这个半圆绕 x 轴旋转时形成的固体的体积。

逐步计算：

1. 确定形状和方程：
   • 形状是半圆形。
   • 定义该形状的方程为 y = sqrt(r^2 - x^2)。
2. 确定旋转轴：
   • 半圆绕 x 轴旋转。
3. 设置体积公式：
   • 绕x轴旋转时体积的计算公式为：
     • V = pi 从 -r 到 r 的积分 [sqrt(r^2 - x^2)]^2 dx
4. 简化方程：
   • 积分简化为 pi 乘以 (r^2 - x^2) dx 从 -r 到 r 的积分。
5. 计算积分：
   • (r^2 - x^2) 从 -r 到 r 的积分等于 2/3 pi r^3。此计算可以通过将积分拆分为 r^2x - x^3/3 并从 -r 到 r 求值来执行。
6. 计算体积：
   • 将积分结果代入体积公式：
     • V = pi * 2/3 pi r^3 = 4/3 pi r^3

总结

给定的半圆绕 x 轴旋转形成的固体的体积为 4/3 pi r^3。此示例说明如何使用旋转体积计算器来简化计算体积的过程，使其成为教育和专业应用的实用工具。

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