这款 中心极限定理 (CLT) 计算器 是一种旨在帮助统计学家、研究人员和数据分析师将中心极限定理应用于给定数据集的工具。中心极限定理指出，当你反复从总体中随机抽取样本时，无论总体的分布如何，随着样本量的增加，样本均值的分布将接近正态分布。这是推理中的一个重要概念 统计 因为即使总体不服从正态分布，它也允许使用正态分布近似值。
使用此计算器，您可以计算样本均值的抽样分布的重要属性，例如样本分布的均值（等于总体均值）和样本均值的标准差（称为标准误差）。该计算器还可用于确定概率和置信区间，帮助您根据样本数据进行统计推断。
中心极限定理计算器公式
要应用 中心极限定理 (CLT)，需要以下信息：
- 总体平均值 (μ)：样本所来自的总体的平均值。
- 总体标准差 (σ)：总体的标准差。
- 样本量 (n)：每个样本中的观测值数量。
中心极限定理告诉我们，只要样本量足够大，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布都会近似为正态。抽样分布的平均值和标准差可以使用以下公式计算：
样本分布的平均值：
μₓ̄ = μ
样本分布的标准差（标准误差）：
σₓ̄ = σ / √n
地点：
- μₓ̄ 是样本分布的平均值（与总体平均值相同）
- σₓ̄ 是样本平均值的标准差（也称为标准误差）
- σ 是总体标准差
- n 是样本大小
如果你有兴趣使用 CLT 查找概率或置信区间， 分数 可以计算为：
Z 分数公式：
z = (x̄ - μₓ̄) / (σₓ̄)
地点：
- X 是样本均值
- μₓ̄ 是样本分布的平均值
- σₓ̄ 是样本分布的标准差（标准误差）
一旦计算出 z 分数，您就可以使用它从标准正态分布表中查找概率，或者根据所需的置信水平计算置信区间。
中心极限定理计算的一般术语
以下是与中心极限定理相关的常用术语的快速参考表：
| 按揭年数 | 描述 |
|---|---|
| 总体平均值 (μ) | 整个人口的平均值。 |
| 总体标准差 (σ) | 整个总体的标准差。 |
| 样本量 (n) | 从总体中抽取的样本的观测值数量。 |
| 样本均值 (x̄) | 来自总体的给定样本的平均值。 |
| 标准误差（σₓ̄） | 样本平均值的标准差，计算为 σ/√n。 |
| Z分数 | 一个统计数据，告诉您样本平均值与总体平均值之间的标准差是多少。 |
| 抽样分布 | 从总体中抽取的多个样本的样本均值的概率分布。 |
该表可以帮助用户更好地理解 CLT 计算中涉及的不同元素，并可在使用 CLT 计算器时作为参考。
中心极限定理计算器示例
让我们通过一个例子来说明中心极限定理计算器的工作原理。
鉴于：
- 总体平均值 (μ)：50
- 总体标准差 (σ)：10
- 样本量 (n)：25
- 样本均值 (x̄)：52
步骤 1：计算样本分布的平均值（μₓ̄）
使用公式：
μₓ̄ = μ = 50
因此，样本分布的平均值是 50。
第 2 步：计算标准误差（σₓ̄）
使用公式：
σₓ̄ = σ / √n = 10 / √25 = 10 / 5 = 2
因此，标准误差是 2。
步骤 3：计算 z 分数
使用公式：
z = (x̄ - μₓ̄) / σₓ̄ = (52 - 50) / 2 = 2 / 2 = 1
因此，z 分数为 1。
步骤 4：查找 z 分数
使用标准正态分布表，z 分数为 1 对应的累积概率约为 0.8413。这意味着样本平均值 52 高于总体平均值 50，随机选择的样本的平均值小于 84.13 的概率约为 52%。
最常见的常见问题解答
中心极限定理 (CLT) 指出，无论总体分布如何，随着样本规模的增加，样本均值的分布将趋近于正态分布。即使原始总体不呈正态分布，这一结论仍然成立，这使得 CLT 成为推断统计的有力工具。
一般来说，样本量为 30 或更大被认为足以应用中心极限定理，因为它确保样本均值的抽样分布大致呈正态分布。然而，在总体分布严重偏斜的情况下，可能需要更大的样本量才能实现良好的近似值。
如果样本量较小（少于 30），中心极限定理可能不适用，尤其是当总体分布不呈正态分布时。对于小样本量，检查总体本身是否呈正态分布非常重要，因为这会影响使用 CLT 进行近似的可靠性。