Калькулятор теоремы Муавра — это математический инструмент, используемый для вычисления степеней и корней комплексных чисел. Он упрощает процесс возведения комплексных чисел в степень с помощью тригонометрических функций, облегчая вычисления для студентов, инженеров и математиков.
Этот калькулятор полезен в таких областях, как электротехника, квантовая механика и обработка сигналов, где комплексные числа играют важную роль.
Формула теоремы Муавра Калькулятор
Теорема Муавра утверждает, что для комплексного числа, выраженного в полярной форме:
z = r (cos θ + i sin θ)
его n-я степень определяется по формуле:
z^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ))
Где:
- z — комплексное число
- r — модуль (абсолютная величина) комплексного числа
- θ (тета) — аргумент (угол) комплексного числа в радианах
- n — степень, в которую возводится комплексное число
Эта формула позволяет возводить в степень комплексные числа без ручного расширения биномиальных выражений.
Таблица теорем де Муавра
В таблице ниже приведены часто используемые значения для быстрой справки.
| Модуль (r) | Аргумент (θ) | Мощность (н) | Результат (полярная форма) |
|---|---|---|---|
| 2 | π / 4 | 2 | 4 (cos π/2 + i sin π/2) |
| 3 | π / 3 | 3 | 27 (cos π + i sin π) |
| 1 | π / 6 | 4 | 1 (cos 2π/3 + i sin 2π/3) |
| 5 | π / 2 | 5 | 3125 (cos 5π/2 + i sin 5π/2) |
Эта таблица помогает быстро проверить результаты без необходимости расчета каждого время.
Пример калькулятора теоремы Муавра
Давайте вычислим (1 + i)³, используя теорему Муавра.
Шаг 1: Преобразование в полярную форму
Модуль равен:
г = √(1² + 1²) = √2
Аргумент таков:
θ = tan⁻¹ (1/1) = π/4
Шаг 2: Применяем теорему Муавра
(1 + i)³ = (√2)³ × (cos (3 × π/4) + i sin (3 × π/4))
= 2√2 (cos (3π/4) + i sin (3π/4))
= 2√2 (-1/√2 + я 1/√2) = -2 + 2i
Таким образом, (1 + i)³ = -2 + 2i.
Наиболее распространенные часто задаваемые вопросы
Теорема Муавра упрощает возведение в степень комплексных чисел и имеет важное значение при решении тригонометрических уравнений, обработке сигналов и физических задач.
Да. Используя дробные показатели (n = 1/2, 1/3 и т. д.), можно вычислять комплексные корни чисел.
Да, это работает для любой действительной или дробной степени, но результат может иметь несколько решений из-за периодичности тригонометрических функций.