Онлайн-калькулятор вращающегося объема

Калькулятор вращающегося объема помогает визуализировать и рассчитывать объем тел вращения. Эти твердые тела образуются, когда плоская область вращается вокруг линии (оси), расположенной рядом с этой областью, образуя трехмерное твердое тело.

Формула калькулятора вращающегося объема

Объем тел вращения рассчитывается с помощью интегрального исчисления. Вот расчеты, основанные на оси вращения:

Вращение вокруг оси X: Для формы, определяемой кривой y = f(x), от x = a до x = b, объем V вычисляется по формуле: V = интеграл от a до b от pi [f(x)]^2 dx Здесь pi представляет собой константу pi, а [f(x)]^2 — это квадрат расстояния от кривой до оси x, интеграл по границам от a до b.

Вращение вокруг оси Y: Для формы, где x = g(y) от y = c до y = d, объем V рассчитывается как: V = интеграл от c до d от pi [g(y)]^2 dy. Эта формула также включает интегрирование квадрат расстояния от кривой до оси y на интервале от y = c до y = d.

Инструменты и таблица преобразования

Пример калькулятора вращающегося объема

Давайте рассмотрим пример использования калькулятора вращающегося объема с полукруглой областью. Предположим, у нас есть полукруг, определенный уравнением y = sqrt(r^2 - x^2), где r — это радиус полукруг. Мы хотим вычислить объем твердого тела, образующегося при вращении этого полукруга вокруг оси X.

Пошаговый расчет:

1. Определите форму и уравнение:
   • Форма – полукруг.
   • Уравнение, определяющее эту форму: y = sqrt(r^2 - x^2).
2. Определите ось вращения:
   • Полукруг вращается вокруг оси X.
3. Настройте формулу объема:
   • Формула для расчета объема при вращении вокруг оси X:
     • V = интеграл от -r до r числа pi [sqrt(r^2 - x^2)]^2 dx
4. Упростите уравнение:
   • Интеграл упрощается до pi, умноженного на интеграл от -r до r от (r^2 - x^2) dx.
5. Вычислите интеграл:
   • Интеграл от (r^2 - x^2) от -r до r равен 2/3 пи r^3. Этот расчет можно выполнить, разделив интеграл на r^2x - x^3/3 и вычислив от -r до r.
6. Вычислите объем:
   • Подставим результат интеграла в формулу объема:
     • V = пи * 2/3 пи r^3 = 4/3 пи r^3

Вывод:

Объем твердого тела, образовавшегося при вращении данного полукруга вокруг оси x, равен 4/3 пи r^3. Этот пример иллюстрирует, как использовать калькулятор вращающегося объема, чтобы упростить процесс вычисления объемов и сделать его практичным инструментом для образовательных и профессиональных приложений.

Наиболее распространенные часто задаваемые вопросы