Калькулятор углов Эйлера вычисляет три угла, которые описывают ориентацию твердого тела в трехмерном пространстве. Эти углы, обычно известные как крен (ϕ), тангаж (θ) и рыскание (ψ), выводятся либо из матрицы вращения, либо из кватерниона. Калькулятор широко используется в аэрокосмической промышленности, робототехнике, машиностроении и компьютерной графике для преобразования данных вращения в формат, который легко интерпретировать и применять.
Этот инструмент поддерживает различные последовательности вращения, но общепринятым стандартом является соглашение Z–Y–X (рыскание–тангаж–крен). Он обеспечивает точный анализ и визуализацию ориентаций объектов, особенно в симуляциях, виртуальных средах и системах отслеживания движения.
Формула расчета угла Эйлера
Дана матрица вращения 3×3:
R =
| р₁₁ р₁₂ р₁₃ |
| р₂₁ р₂₂ р₂₃ |
| р₃₁ р₃₂ р₃₃ |
Углы Эйлера для последовательности Z–Y–X (рыскание–тангаж–крен) вычисляются следующим образом:
- θ (шаг) = arcsin(−r₃₁)
- ϕ (рулон) = arctan2(r₃₂, r₃₃)
- ψ (рыскание) = arctan2(r₂₁, r₁₁)
Примечание:
- Углы обычно возвращаются в радианах. При необходимости используйте стандартное преобразование в градусы: градусы = радианы × (180 / π)
- Команда arctan2 функция обеспечивает правильное управление квадрантами для полного охвата на 360°
- Входная матрица вращения должна быть ортонормальной, то есть она должна представлять допустимое вращение без искажений или масштабирования.
Этот метод лучше всего подходит для систем, которые полагаются на интерпретацию ориентации в реальном времени, таких как навигация, управление дронами и захват движения.
Полезная справочная таблица
В таблице ниже показаны обычно используемые значения и соответствующие им углы Эйлера в системе координат Z–Y–X:
| Элемент матрицы вращения | Результирующий угол Эйлера | Описание |
|---|---|---|
| р₃₁ = 0 | θ = 0 ° | Нет шага |
| r₃₁ = −1 | θ = 90 ° | Прямой наклон вверх |
| р₃₁ = 1 | θ = −90° | Прямой наклон вниз |
| r₃₂ = 0, r₃₃ = 1 | ϕ = 0° | Нет рулона |
| р₂₁ = 0, р₁₁ = 1 | ψ = 0° | Нет рыскания |
Этот справочник помогает пользователям проверять ожидаемые результаты во время тестирования или моделирования.
Пример калькулятора угла Эйлера
Давайте вычислим углы Эйлера для матрицы вращения:
R =
| 0.866 −0.5 0 |
| 0.5 0.866 0 |
| 0 0 1 |
Шаг 1: Определить элементы
- р₃₁ = 0
- р₃₂ = 0
- р₃₃ = 1
- р₂₁ = 0.5
- r₁₁ = 0.866
Шаг 2: Примените формулы
- θ = arcsin(−0) = 0
- ϕ = arctan2(0, 1) = 0
- ψ = arctan2(0.5, 0.866) ≈ 0.5236 радиан ≈ 30°
Результат:
- Крен (ϕ): 0°
- Угол наклона (θ): 0°
- Рыскание (ψ): 30°
Здесь показано чистое вращение вокруг оси Z, типичное для многих упрощенных преобразований из 2D в 3D.
Наиболее распространенные часто задаваемые вопросы
Углы Эйлера используются для представления ориентации тела или системы координат в трехмерном пространстве. Они применяются в анимации, динамике полета, навигации и робототехнике для описания вращений в понятном для человека формате.
Углы Эйлера легче интерпретировать, но они могут страдать от «замка карданного шарнира», состояния, при котором оси вращения становятся выровненными. Кватернионы избегают этой проблемы и более стабильны в симуляциях, но их сложнее визуализировать. Углы Эйлера часто выводятся из кватернионов для интерпретации.
Да. В зависимости от квадранта и направления вращения углы могут быть положительными или отрицательными. Большинство калькуляторов могут выводить углы в полном диапазоне от −180° до 180° или от 0° до 360°, в зависимости от настройки.