Калькулятор равновесия Нэша для смешанной стратегии предназначен для решения игр в стратегической форме, определяя вероятности, с которыми игроки должны случайным образом выбирать свои стратегии, чтобы гарантировать, что ни один игрок не сможет увеличить свой ожидаемый выигрыш, выбрав другую стратегию с учетом стратегий других игроков. Эта концепция, являющаяся неотъемлемой частью теории игр, позволяет анализировать конкурентные ситуации, результат которых зависит от стратегий всех участников.
Формула
Чтобы понять работу калькулятора, углубимся в математический формулы, которые он использует:
- Ожидаемый выигрыш для игрока 1:
E_1(i) = p_1 * u_1(i, j_1) + (1 - p_1) * u_1(i, j_2)
- Ожидаемый выигрыш для игрока 2:
E_2(j) = p_2 * u_2(j, i_1) + (1 - p_2) * u_2(j, i_2)
- Вероятность того, что игрок 1 выберет стратегию i:
p_1 = E_1(i') / (E_1(i') + E_1(i))
- Вероятность того, что игрок 2 выберет стратегию j:
p_2 = E_2(j') / (E_2(j') + E_2(j))
Эти формулы отражают суть стратегического равновесия в смешанных стратегиях, где u_1 и u_2 представляют собой выплаты, Е_1 и Е_2 ожидаемые выплаты и p_1 и p_2 вероятности выбора стратегии. Индексы i, j, я' и J» символизируют выбранные стратегии и их альтернативы.
Практическое применение
| Игрок \ Стратегия | Высокая цена (H) | Низкая цена (л) |
|---|---|---|
| Вероятность выбора H | p | 1-р |
| Вероятность выбора L | q | 1-г |
| Ожидаемый выигрыш при выборе H | Е_1(Н) | Е_2(Н) |
| Ожидаемый выигрыш при выборе L | Е_1(Л) | Е_2(Л) |
Где:
- p и 1-р – это вероятности того, что Игрок 1 выберет высокую цену (H) и низкую цену (L) соответственно.
- q и 1-г – это вероятности того, что Игрок 2 выберет высокую цену (H) и низкую цену (L) соответственно.
- Е_1(Н) и Е_1(Л) — ожидаемые выигрыши игрока 1 при выборе H и L соответственно, рассчитанные на основе равновесия смешанной стратегии.
- Е_2(Н) и Е_2(Л) — ожидаемые выигрыши игрока 2 при выборе H и L соответственно, рассчитанные на основе равновесия смешанной стратегии.
Пример
Рассмотрим простую игру, в которой две фирмы конкурируют по стратегиям ценообразования: высокая цена (H) или низкая цена (L). Калькулятор помогает определить сочетание вероятностей, которое максимизирует ожидаемую прибыль каждой фирмы, направляя их к стратегии, которая снижает риски и максимизирует прибыль на конкурентном рынке.
Наиболее распространенные часто задаваемые вопросы
Это ситуация в игре, когда каждый игрок выбирает свою стратегию на основе распределения вероятностей. Ни один игрок не может улучшить свой выигрыш, изменив набор стратегий, учитывая стратегии других.
Применяя формулы ожидаемых выигрышей и вычисляя вероятности, которые уравнивают эти выигрыши в разных стратегиях. Обеспечение того, чтобы ни у одного игрока не было стимула отклоняться.
Да, он предназначен для игр двух и более игроков с конечными стратегиями. Это делает его универсальным инструментом для анализа широкого спектра стратегических взаимодействий.