ケーリー・ハミルトン定理計算機

ケイリー・ハミルトン定理計算機は、ケイリー・ハミルトン定理を正方行列に適用するユーザーを支援するために設計されたツールです。定理は、すべての正方行列がそれ自身の特性方程式を満たすことを述べています。言い換えると、行列をそれ自身の特性多項式に代入すると、結果はゼロ行列になります。この計算機は、必要な行列演算を実行し、よりアクセスしやすい方法で結果を返すことで、行列が定理を満たすかどうかを判断するプロセスを自動化します。

ケーリー・ハミルトン定理の公式計算機

ケイリー・ハミルトン定理の公式は、行列の特性多項式に基づいています。サイズが n × n の正方行列 A の場合、ケイリー・ハミルトン定理は、行列が自身の特性方程式を満たすことを述べています。

p_A(ラムダ) = 0

ここで特性多項式p_A(lambda)は次のように表される。

p_A(ラムダ) = det(A – ラムダ * I)

どこ：

A = n行n列の正方行列
ラムダ = 行列Aの固有値
I = Aと同じサイズの単位行列
詳細 = 行列式 マトリックスの

特性方程式は次のように表すことができます。

p_A(A) = 0

ここで、p_A(A) は、行列 A をそれ自身の特性多項式に代入することによって得られる行列多項式です。この演算の結果は常にゼロ行列になります。

主な定義：

• 正方行列A: 行数と列数が同じ行列。
• 固有値 (ラムダ): マトリックスに関連付けられたスカラーであり、マトリックスの動作に関する情報を提供します。
• 単位行列（I）: 1が1である正方行列 対角線 その他の場所ではゼロとなり、行列の乗法単位元として機能します。
• 行列式 (det): 行列が逆行列であるかどうかなど、行列の有用な特性を提供するスカラー値。

一般用語の表

以下は、ケイリー・ハミルトン定理を扱う際によく検索される用語とその定義および関連する変換の表です。

契約期間	定義
正方行列	行と列の数が等しい行列
固有値 (λ)	行列変換がベクトルを伸縮するスケーリング係数を表すスカラー
行列式 (det)	正方行列の要素から計算されたスカラー値。 キー 可逆性などの情報
単位行列（I）	対角線上に1があり、それ以外は0である行列
特性多項式	行列の固有値を根とする多項式

ケーリー・ハミルトン定理計算機の例

ケイリー・ハミルトン定理が行列にどのように適用されるかをよりよく理解するために、 例を通して。

行列Aを考えてみましょう。

A = [4 1]
    [2 3]

ステップ 1: 特性多項式を見つけます。

まず、(A – lambda * I) の行列式を計算します。ここで、I は A と同じサイズの単位行列です。

A - lambda * I = [4 - λ 1]
                 [2   3 - λ]

ここで、この行列の行列式を計算します。

det(A – λ * I) = (4 – λ)(3 – λ) – (2)(1)

表現を拡張すると:

det(A – λ * I) = λ² – 7λ + 10

これは特性多項式p_A(λ)です。

ステップ 2: ケイリー-ハミルトンの定理を適用します。

さて、ケーリー・ハミルトン定理によれば、行列 A はこの多項式を満たす必要があります。そこで、行列 A を多項式に代入します。

p_A(A) = A² – 7A + 10I

A²、7A、10Iを計算します。

A² = [4 1] [4 1] = [16 7] [2 3] [2 3] [10 13]

7A = 7 * [4 1] = [28 7] [2 3] [14 21]

10I = 10 * [1 0] = [10 0] [0 10] [0 10]

次に、これらを多項式に代入します。

p_A(A) = [16 7] – [28 7] + [10 0] [10 13] – [14 21] [0 10]

簡略化:

p_A(A) = [-2 0] [-4 2]

これは、A をそれ自身の特性多項式に代入した結果です。行列は厳密にはゼロ行列ではないため、行列はケイリー・ハミルトン定理を満たしていないことを示しています。ただし、これは例の操作または仮定に誤りがあることを示している可能性もあります。

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