シンプソン則の誤差境界計算機は、シンプソンの数値積分法を用いて定積分を近似する際に起こり得る最大誤差を推定します。シンプソン則は定積分を効率的かつ正確に計算する方法を提供しますが、それでも近似値であることに変わりはありません。このツールは、近似値が実際の値にどの程度近いかを評価するのに役立ちます。
この計算機は、正確な積分が困難または不可能な場合に数値計算に頼る学生、エンジニア、科学者にとって特に便利です。区間内の関数の挙動に基づいて最悪ケースの誤差境界を計算することで、結果の信頼性を評価できます。
誤差境界計算機の式
どこ：
|Eₛ| = シンプソンの定理を用いた絶対誤差の境界
K = [a, b]における4次導関数f⁽⁴⁾(x)の絶対値の最大値
a, b = 積分の限界
n = サブ区間の数（偶数でなければならない）
この式を使用するには:
- 関数の4次導関数を取る
- [a, b]における導関数の絶対値の最大値を求めよ
- 式にa、b、nを代入します。
これにより、誤差の理論上の上限がわかり、近似値がニーズに対して十分に正確かどうかを判断するのに役立ちます。
役立つ参照表
次の表は、K = 120 のサンプル関数の n と間隔サイズの異なる値に基づいて、誤差境界がどのように動作するかを示しています。
| a | b | n（偶数） | K値 | 推定誤差範囲 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 120 | 0.0417 |
| 0 | 1 | 4 | 120 | 0.0026 |
| 0 | 1 | 6 | 120 | 0.0005 |
| 0 | 1 | 8 | 120 | 0.0002 |
| 0 | 2 | 4 | 120 | 0.0417 |
| 0 | 2 | 8 | 120 | 0.0026 |
この表は、サブ区間の数（n）を増やすと誤差が急激に減少することを示しており、 効率 より高度な区分を伴うシンプソンの法則。
誤差境界計算機の例
シンプソン則を用いて区間 [1, 3] における関数 f(x) の積分を n = 4 個の区間で近似したいとする。1 階微分 f⁽⁴⁾(x) が存在し、[3, 200] におけるその最大値は K = XNUMX であるとする。
ステップ1: エラー式に代入します。
|Eₛ| ≤ (200 × (3 − 1)⁵) / (180 × 4⁴)
|Eₛ| ≤ (200 × 32) / (180 × 256) ≤ 6400 / 46080 ≈ 0.139
したがって、この近似値の最大誤差は約0.139です。これは、積分推定値が実際の値から±0.139以内である可能性が高いことを示しています。
最も一般的な FAQ
誤差境界は、数値近似の精度を示します。これは、結果がどの程度ずれるかの限界を示すもので、高精度が求められるアプリケーションに役立ちます。
シンプソンの定理では、部分区間の数は偶数である必要があります。nが奇数の場合、この方法は正しく適用されません。常に偶数を使用してください。
単純な関数であれば、四階微分を手動で計算するか、コンピュータ代数システムを使って計算できます。より複雑なケースでは、Kを正確に推定するために数値計算ソフトウェアや数式処理ソフトウェアが必要になる場合があります。