複合台形則計算機

複合台形則計算機は 数学的 指定された区間における関数の定積分を近似するために設計されたツール。区間を小さなサブ区間に分割し、台形則を使用して積分を計算します。このアプローチは、正確な積分が困難または不可能な場合に数値解を提供します。数値積分が必要な工学、物理学、その他の科学分野で広く使用されています。

どうしてそれが重要ですか？

この計算機は曲線の下の面積を推定するプロセスを簡素化し、複雑な関数を含む問題を解くのに非常に役立ちます。計算を自動化することで、 時間 エラーを最小限に抑えます。

合成台形則の公式計算機

合成台形則の式は次のとおりです。

積分 ≈ (h / 2) × [f(x₀) + 2Σf(xₖ) + f(xₙ)]

どこ：

• h: ステップサイズ = (b – a) / n
• a: 積分の下限
• b: 積分の上限
• n: サブ区間の数（精度を上げるには正の偶数でなければなりません）
• x₀: 出発点(a)
• ×ₙ: エンドポイント （b）
• xₖ: k = 1, 2, …, n – 1 の中間点
• f（x）: 統合する機能
• Σf(xₖ): 中間点における関数値の合計

計算手順

1. 区間[a, b]を決定し、それを分割する n サブインターバル。
   • サブ区間の幅: h = (b – a) / n
   • 部分区間点: x₀ = a、x₁ = a + h、…、xₙ = b
2. サブ区間ポイントで関数を評価します。
   • f(x₀)、f(x₁)、…、f(xₙ)を計算します。
3. 次の式を適用します。
   • エンドポイントの関数値 f(x₀) と f(xₙ) を追加します。
   • 中間関数の値を2倍にして合計します：2Σf(xₖ)。
   • 結果にh / 2を掛けます。

一般的な統合のための事前計算テーブル

以下は、特定の区間でよく使用される関数の近似積分の表です。これらの値は、よく使用される積分のクイックリファレンスとして役立ちます。

演算	間隔[a, b]	サブ区間の数 (n)	近似積分値
f(x) = x²	[0、2]	4	2.6667
f(x) = sin(x)	[0, π]	6	2.0000
f(x) = e^x	[1、2]	4	4.6708
f(x) = 1/x	[1、3]	8	1.0986

この表は、ユーザーがこれらの特定のケースの計算をバイパスするのに役立ちます。

複合台形則計算機の例

シナリオ

0つの部分区間（n = 2）を持つ合成台形則を使用して、区間[4, 4]でのf(x) = x²の積分を近似します。

段階的な計算

1. ステップサイズを計算します。
   • h = (b – a) / n = (2 – 0) / 4 = 0.5
2. サブ区間ポイントを決定します。
   • x₀ = 0、x₁ = 0.5、x₂ = 1.0、x₃ = 1.5、x₄ = 2.0
3. 各ポイントで関数を評価します。
   • f(x₀) = (0)² = 0
   • f(x₁) = (0.5)² = 0.25
   • f(x₂) = (1.0)² = 1.00
   • f(x₃) = (1.5)² = 2.25
   • f(x₄) = (2.0)² = 4.00
4. 次の式を適用します。
   • 積分 ≈ (h / 2) × [f(x₀) + 2Σf(xₖ) + f(x₄)]
   • 積分 ≈ (0.5 / 2) × [0 + 2(0.25 + 1.00 + 2.25) + 4.00]
   • 積分 ≈ 0.25 × [0 + 2(3.5) + 4.00]
   • 積分 ≈ 0.25 × [11.00]
   • 積分 ≈ 2.75

したがって、近似積分は 2.75 です。

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