余因子行列式計算機は、余因子展開法を使用して行列の行列式を決定するプロセスを簡素化するツールです。行列式は線形代数の基本であり、方程式系を解いたり、固有値を見つけたり、行列の可逆性を評価したりするために使用されます。計算機は、マイナー行列を計算する労働集約的なプロセスを自動化します。 補因子、およびそれらの合計により正確な行列式値が得られます。
このツールは、学生、エンジニア、研究者にとって非常に貴重です。 数学的 モデリング、物理学、および行列を含む計算の問題。
補因子行列式の計算式
行列 A の行列式は次の式を使用して計算されます。
どこ：
- Det(A)は行列Aの行列式です。
- aᵢⱼは行列のi行j列目の要素です。
- Cᵢⱼはaᵢⱼの補因子であり、次のように表される: Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ
- Mᵢⱼは、行列からi行目とj列目を削除して得られる小行列式の行列式です。
詳細な数式
- 小行列式の行列式（Mᵢⱼ）:
サイズが (n-1) x (n-1) の小行列の場合、行列式は次のように再帰的に計算されます。
Mᵢⱼ = Σ (-1)^(k+1) × a1k × サブマイナーの行列式
どこ：
- a1k は小行列の最初の行の要素を表します。
- Sub-Minor の行列式は、最小の行列 (2×2) に達するまで再帰的に計算されます。
- 2×2行列の行列式:
2×2行列の場合:
[アブ]
[CD]
行列式(2×2) = (a × d) – (b × c)
- 補因子（Cᵢⱼ）:
Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ - 行列式に代入します:
Det(A) = Σ (aᵢⱼ × Cᵢⱼ)
この合計は、行列の選択された行または列のすべての要素に適用されます。
一般的な行列式の計算表
| マトリックスのサイズ | 例のマトリックス（簡略化） | 決定的価値 |
|---|---|---|
| 2x2 | [2 3] [4 5] | (2×5) – (3×4) = -2 |
| 3x3 | [1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] | 行列式 = 0 |
| 3x3 | [1 0 2] [0 3 0] [4 0 5] | 行列式 = -35 |
この表には、一般的な行列サイズの行列式の計算をユーザーが理解できるように、事前に計算された例が示されています。
補因子行列式計算機の例
3×3 行列の行列式を計算してみましょう。
マトリックス A:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
- 拡張する最初の行を選択します。
Det(A) = a₁₁ × C₁₁ + a₁₂ × C₁₂ + a₁₃ × C₁₃
= 1 × C₁₁ + 2 × C₁₂ + 3 × C₁₃ - マイナー行列と補因子を見つける:
C₁₁ = (-1)^(1+1) × M₁₁ = M₁₁ = 行列式: [5 6] [8 9] = (5×9) – (6×8) = -3
C₁₂ = (-1)^(1+2) × M₁₂ = -M₁₂ = – 行列式: [4 6] [7 9] = -(4×9 – 6×7) = 6
C₁₃ = (-1)^(1+3) × M₁₃ = M₁₃ = 行列式: [4 5] [7 8] = (4×8) – (5×7) = -3 - 式に補因子を代入します。
Det(A) = 1 × (-3) + 2 × 6 + 3 × (-3)
決定(A) = -3 + 12 – 9 = 0
行列 A の行列式は 0 です。
最も一般的な FAQ
1. 線形代数において行列式が重要なのはなぜですか?
行列式は、行列が逆行列であるかどうかを評価したり、線形方程式系を解いたり、行列変換を理解したりするのに役立ちます。
2. 補因子行列式計算機は大きな行列を処理できますか?
はい、計算機は、次の処理を自動化することで、任意のサイズの行列の行列式を計算することができます。 再帰的な マイナー因子と補因子の計算。
3. 行列式がゼロの場合、それは何を意味しますか?
行列式がゼロの場合、行列は特異行列であり、逆行列がなく、行または列が線形従属であることを意味します。