回転体積計算オンライン

回転体積計算ツールは、回転固体の体積を視覚化して計算するのに役立ちます。これらのソリッドは、平面領域をその領域の隣の線 (軸) を中心に回転させると形成され、3 次元ソリッドが形成されます。

回転体積計算式

回転固体の体積は積分法を使用して計算されます。回転軸に基づいた計算は次のとおりです。

X 軸を中心とした回転: 曲線 y = f(x)、x = a から x = b で定義される形状の場合、体積 V は次のように計算されます。 V = pi [f(x)]^2 dx の a から b までの積分 ここで、 pi は定数 pi を表し、[f(x)]^2 は曲線から x 軸までの二乗距離であり、a から b の範囲にわたる積分です。

Y 軸を中心とした回転: x = g(y)、y = c から y = d である形状の場合、体積 V は次のように計算されます。 V = pi [g(y)]^2 dy の c から d までの積分 この式には、 y = c から y = d までの区間における曲線から y 軸までの二乗距離。

ツールと変換表

回転体積計算機の例

半円領域で回転体積計算ツールを使用する例を見てみましょう。方程式 y = sqrt(r^2 - x^2) で定義された半円があるとします。ここで、r は の半径 半円。この半円を x 軸の周りに回転させたときに形成される立体の体積を計算したいとします。

段階的な計算:

1. 形状と方程式を特定します。
   • 形は半円形です。
   • この形状を定義する方程式は、y = sqrt(r^2 - x^2) です。
2. 回転軸を決定します。
   • 半円が x 軸を中心に回転します。
3. ボリュームの計算式を設定します。
   • X 軸を中心に回転するときの体積を計算する式は次のとおりです。
     • V = pi の -r から r までの積分 [sqrt(r^2 - x^2)]^2 dx
4. 方程式を単純化します。
   • 積分は、(r^2 - x^2) dx の -r から r までの積分の pi 倍に簡略化されます。
5. 積分を計算します。
   • -r から r までの (r^2 - x^2) の積分は、2/3 pi r^3 に等しくなります。この計算は、積分を r^2x - x^3/3 に分割し、-r から r まで評価することで実行できます。
6. 体積を計算します。
   • 積分の結果を体積の公式に代入します。
     • V = pi * 2/3 pi r^3 = 4/3 pi r^3

まとめ：

指定された半円を x 軸の周りに回転させることによって形成される固体の体積は 4/3 pi r^3 です。この例では、回転体積計算ツールを使用して体積の計算プロセスを簡素化し、教育および専門アプリケーションで実用的なツールにする方法を示します。

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