収束半径計算ツールは、収束範囲内の距離を決定するために使用されるツールです。 電力 系列はある点の周りに収束します。数学、特に微積分では、級数展開の動作を理解するために収束半径を知ることが不可欠です。この計算ツールは、この半径を求める複雑なプロセスを自動化し、学生、エンジニア、研究者にとってアクセスしやすく、簡単に実行できるようにします。
収束半径計算式
べき級数の合計(a_n * (x – c)^n) の収束半径 R は、次の式を使用して決定できます。
R = 1 / L
ここで、L は係数の絶対値のシーケンス |a_n| の上限です。
L = limsup(n -> 無限大) sqrt(n)(|a_n|)
あるいは、L は比率検定を使用して計算することもできます。
L = lim(n -> 無限大) |a_(n+1) / a_n|
要約すると、収束半径 R は次の式で与えられます。
R = 1 / limsup(n -> 無限大) sqrt(n)(|a_n|)
or
R = 1 / lim(n -> 無限大) |a_(n+1) / a_n|
一般用語の表
以下は、収束半径の計算に関連する一般的な用語を含む簡略化された表で、いくつかの典型的な係数とその半径に対する影響を示しています。
| 係数 (a_n) | 使用される式 | 収束半径(R) |
|---|---|---|
| 1 / N | 比率テスト | R = 1 |
| 1/n^2 | 比率テスト | R = 1 |
| n! | リムサップテスト | R = 0 |
| (-1)^n/n | 比率テスト | R = 1 |
この表は、さまざまな係数が収束半径の計算にどのような影響を与えるかをユーザーが理解するためのクイックリファレンスを提供することを目的としています。
収束半径計算機の例
収束半径の公式の使用方法を示す実際の例を考えてみましょう。
(n^3 * (x – 2)^n) のべき級数和があるとします。比率検定を使用して収束半径 R を求めるには、次のように計算します。
- 係数 a_n (この場合は n^3) を特定します。
- 比率検定の公式を適用します:L = lim(n -> infinity) |a_(n+1) / a_n| L = lim(n -> 無限大) |(n+1)^3 / n^3| L = lim(n -> 無限大) |(1 + 1/n)^3| n が無限大に近づくと、(1 + 1/n)^3 は 1 に近づきます。
- 収束半径の計算 R:R = 1 / LR = 1 / 1 R = 1
したがって、(n^3 * (x – 2)^n) の級数の合計の収束半径は 1 です。これは、x から 2 までの距離が 1 未満の場合に級数が収束することを意味します。
最も一般的な FAQ
収束半径は、べき級数が収束する最大の円盤の半径です。
収束半径は、式のセクションで詳しく説明されているように、限界優位法または比検定のいずれかを使用して求めることができます。
これは、問題に対するべき級数解が有効であり、さまざまなアプリケーションの計算に安全に使用できる範囲を決定するのに役立ちます。