Il calcolatore del limite di errore per la regola di Simpson stima il massimo errore possibile nell'approssimazione di un integrale definito utilizzando il metodo di integrazione numerica di Simpson. Sebbene la regola di Simpson fornisca un modo efficiente e accurato per calcolare integrali definiti, si tratta comunque di un'approssimazione. Questo strumento aiuta a valutare quanto tale approssimazione possa essere vicina al valore reale.
Questa calcolatrice è particolarmente utile per studenti, ingegneri e scienziati che si affidano a metodi numerici quando l'integrazione esatta è difficile o impossibile. Permette di valutare l'affidabilità del risultato calcolando il limite di errore nel caso peggiore in base al comportamento della funzione nell'intervallo.
formula del calcolatore dei limiti di errore
Dove:
|Eₛ| = limite di errore assoluto utilizzando la regola di Simpson
K = massimo del valore assoluto della derivata quarta f⁽⁴⁾(x) su [a, b]
a, b = limiti di integrazione
n = numero di sottointervalli (devono essere pari)
Per utilizzare questa formula:
- Prendi la quarta derivata della tua funzione
- Trova il valore assoluto massimo di quella derivata su [a, b]
- Inserisci nella formula insieme a a, b e n
Ciò fornisce il limite superiore teorico dell'errore, aiutando a determinare se l'approssimazione è sufficientemente accurata per le proprie esigenze.
Tabella di riferimento utile
La tabella seguente fornisce un'idea di come si comportano i limiti di errore in base a diversi valori di n e dimensione dell'intervallo per una funzione campione con K = 120.
| a | b | n (pari) | Valore K. | Limite di errore stimato |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 120 | 0.0417 |
| 0 | 1 | 4 | 120 | 0.0026 |
| 0 | 1 | 6 | 120 | 0.0005 |
| 0 | 1 | 8 | 120 | 0.0002 |
| 0 | 2 | 4 | 120 | 0.0417 |
| 0 | 2 | 8 | 120 | 0.0026 |
Questa tabella evidenzia come l'aumento del numero di sottointervalli (n) riduce drasticamente l'errore, mostrando la efficienza della regola di Simpson con suddivisioni più elevate.
Esempio di calcolatrice del limite di errore
Supponiamo di voler approssimare l'integrale di una funzione f(x) sull'intervallo [1, 3] usando la regola di Simpson con n = 4 sottointervalli. Si supponga che la derivata quarta f⁽⁴⁾(x) esista e che il suo valore massimo su [1, 3] sia K = 200.
Passaggio 1: inserire la formula di errore:
|Eₛ| ≤ (200 × (3 − 1)⁵) / (180 × 4⁴)
|Eₛ| ≤ (200 × 32) / (180 × 256) ≤ 6400 / 46080 ≈ 0.139
Quindi, l'errore massimo possibile in questa approssimazione è di circa 0.139. Questo indica che la stima integrale si discosta probabilmente da ±0.139 del valore effettivo.
Domande frequenti più comuni
Il limite di errore ci indica quanto è accurata la nostra approssimazione numerica. Fornisce un limite alla possibile deviazione del risultato, il che è utile per le applicazioni che richiedono un'elevata precisione.
La regola di Simpson richiede un numero pari di sottointervalli. Se n è dispari, il metodo non si applicherà correttamente. Utilizzare sempre un numero pari.
Per funzioni semplici, è possibile calcolare la derivata quarta manualmente o utilizzando un sistema di algebra computazionale. Per casi più complessi, potrebbe essere necessario un software numerico o simbolico per stimare K con precisione.