Calculateur de règle trapézoïdale composite

Le calculateur de règle trapézoïdale composite est un mathématique Outil conçu pour approximer l'intégrale définie d'une fonction sur un intervalle spécifié. Il divise l'intervalle en sous-intervalles plus petits et utilise la règle des trapèzes pour calculer l'intégrale. Cette approche fournit une solution numérique lorsque l'intégration exacte est difficile ou impossible à réaliser. Elle est largement utilisée en ingénierie, en physique et dans d'autres domaines scientifiques où l'intégration numérique est nécessaire.

Pourquoi c'est important?

Cette calculatrice simplifie le processus d'estimation de l'aire sous une courbe, ce qui la rend précieuse pour résoudre des problèmes impliquant des fonctions complexes. En automatisant les calculs, elle permet d'économiser fois et minimise les erreurs.

Formule de calcul de la règle trapézoïdale composite

La formule de la règle trapézoïdale composite est la suivante :

Intégrale ≈ (h / 2) × [f(x₀) + 2Σf(xₖ) + f(xₙ)]

Où :

• h: Taille du pas = (b – a) / n
• a:Limite inférieure d'intégration
• b:Limite supérieure d'intégration
• n:Nombre de sous-intervalles (doit être positif et pair pour une meilleure précision)
• x₀:Point de départ (a)
• xₙ:Point final (b)
• xₖ: Points intermédiaires où k = 1, 2, …, n – 1
• f (x):Fonction à intégrer
• Σf(xₖ):Somme des valeurs de fonction aux points intermédiaires

Étapes de calcul

1. Déterminer l'intervalle [a, b] et le diviser en n sous-intervalles.
   • Largeur du sous-intervalle : h = (b – a) / n
   • Points de sous-intervalle : x₀ = a, x₁ = a + h, …, xₙ = b
2. Évaluez la fonction aux points du sous-intervalle.
   • Calculer f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ).
3. Appliquez la formule :
   • Ajoutez les valeurs de fonction pour les points de terminaison : f(x₀) et f(xₙ).
   • Multipliez les valeurs de la fonction intermédiaire par 2 et additionnez-les : 2Σf(xₖ).
   • Multipliez le résultat par h/2.

Tableau pré-calculé pour les intégrations courantes

Vous trouverez ci-dessous un tableau d'intégrales approximatives pour les fonctions fréquemment rencontrées sur des intervalles spécifiques. Ces valeurs fournissent des références rapides pour les intégrales fréquemment utilisées.

Fonction	Intervalle [a, b]	Nombre de sous-intervalles (n)	Valeur intégrale approximative
f(x) = x²	[0, 2]	4	2.6667
f(x) = péché(x)	[0, π]	6	2.0000
f(x) = e^x	[1, 2]	4	4.6708
f(x) = 1/x	[1, 3]	8	1.0986

Ce tableau aide les utilisateurs à contourner les calculs pour ces cas spécifiques.

Exemple de calculateur de règle trapézoïdale composite

Scénario

Approximer l'intégrale de f(x) = x² sur l'intervalle [0, 2] en utilisant la règle trapézoïdale composite avec 4 sous-intervalles (n = 4).

Calcul étape par étape

1. Calculer la taille du pas :
   • h = (b – a) / n = (2 – 0) / 4 = 0.5
2. Déterminer les points du sous-intervalle :
   • x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1.0, x₃ = 1.5, x₄ = 2.0
3. Évaluez la fonction à chaque point :
   • f(x₀) = (0)² = 0
   • f(x₁) = (0.5)² = 0.25
   • f(x₂) = (1.0)² = 1.00
   • f(x₃) = (1.5)² = 2.25
   • f(x₄) = (2.0)² = 4.00
4. Appliquez la formule :
   • Intégrale ≈ (h / 2) × [f(x₀) + 2Σf(xₖ) + f(x₄)]
   • Intégrale ≈ (0.5 / 2) × [0 + 2(0.25 + 1.00 + 2.25) + 4.00]
   • Intégrale ≈ 0.25 × [0 + 2(3.5) + 4.00]
   • Intégrale ≈ 0.25 × [11.00]
   • Intégrale ≈ 2.75

Ainsi, l’intégrale approximative est de 2.75.

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