Le calculateur de déterminants de cofacteurs est un outil qui simplifie le processus de détermination du déterminant d'une matrice à l'aide de la méthode d'expansion des cofacteurs. Les déterminants sont fondamentaux en algèbre linéaire, car ils sont utilisés pour résoudre des systèmes d'équations, trouver des valeurs propres et évaluer l'inversibilité des matrices. Le calculateur automatise le processus laborieux de calcul des matrices mineures, cofacteurs, et leur sommation pour fournir une valeur déterminante précise.
Cet outil est précieux pour les étudiants, les ingénieurs et les chercheurs qui travaillent sur mathématique modélisation, physique et problèmes informatiques impliquant des matrices.
Formule du calculateur de déterminant du cofacteur
Le déterminant d'une matrice A est calculé à l'aide de la formule :
Où :
- Det(A) est le déterminant de la matrice A.
- aᵢⱼ est l'élément de la matrice dans la ième ligne et la jième colonne.
- Cᵢⱼ est le cofacteur de aᵢⱼ, donné par : Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ
- Mᵢⱼ est le déterminant de la matrice mineure obtenue en supprimant la ième ligne et la jième colonne de la matrice.
Formules détaillées
- Déterminant de la matrice mineure (Mᵢⱼ) :
Pour une matrice mineure de taille (n-1) x (n-1), le déterminant est calculé récursivement comme :
Mᵢⱼ = Σ (-1)^(k+1) × a1k × Déterminant du sous-mineur
Où :
- a1k représente les éléments de la première ligne de la matrice mineure.
- Le déterminant du sous-mineur est calculé récursivement jusqu'à atteindre la plus petite matrice (2×2).
- Déterminant d'une matrice 2×2 :
Pour une matrice 2×2 :
[ab]
[cd]
Déterminant (2×2) = (a × d) – (b × c)
- Cofacteur (Cᵢⱼ) :
Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ - Substituer dans la formule du déterminant :
Det(A) = Σ (aᵢⱼ × Cᵢⱼ)
Cette sommation est appliquée à tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne choisie de la matrice.
Tableau pour les calculs des déterminants communs
| Taille de la matrice | Exemple de matrice (simplifiée) | Valeur déterminante |
|---|---|---|
| 2 × 2 | [2 3] [4 5] | (2×5) – (3×4) = -2 |
| 3 × 3 | [1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] | Déterminant = 0 |
| 3 × 3 | [1 0 2] [0 3 0] [4 0 5] | Déterminant = -35 |
Ce tableau fournit des exemples pré-calculés pour aider les utilisateurs à comprendre les calculs de déterminants pour les tailles de matrices courantes.
Exemple de calculateur de déterminant de cofacteur
Calculons le déterminant d'une matrice 3×3 :
Matrice A :
1 2 3
4 5 6
7 8 9
- Sélectionnez la première ligne pour l'extension :
Det(A) = a₁₁ × C₁₁ + a₁₂ × C₁₂ + a₁₃ × C₁₃
= 1 × C₁₁ + 2 × C₁₂ + 3 × C₁₃ - Trouver des matrices mineures et des cofacteurs :
C₁₁ = (-1)^(1+1) × M₁₁ = M₁₁ = Déterminant de : [5 6] [8 9] = (5×9) – (6×8) = -3
C₁₂ = (-1)^(1+2) × M₁₂ = -M₁₂ = – Déterminant de : [4 6] [7 9] = -(4×9 – 6×7) = 6
C₁₃ = (-1)^(1+3) × M₁₃ = M₁₃ = Déterminant de : [4 5] [7 8] = (4×8) – (5×7) = -3 - Remplacer les cofacteurs dans la formule :
Dét(A) = 1 × (-3) + 2 × 6 + 3 × (-3)
Dét(A) = -3 + 12 – 9 = 0
Le déterminant de la matrice A est 0.
FAQ les plus courantes
Le déterminant aide à évaluer si une matrice est inversible, à résoudre des systèmes d’équations linéaires et à comprendre les transformations matricielles.
Oui, la calculatrice peut calculer les déterminants pour des matrices de toute taille en automatisant le récursif calculs de mineurs et de cofacteurs.
Si le déterminant est nul, la matrice est singulière, ce qui signifie qu'elle n'a pas d'inverse et que ses lignes ou colonnes sont linéairement dépendantes.