Le calculateur d'angle d'Euler calcule les trois angles qui décrivent l'orientation d'un corps rigide dans l'espace 3D. Ces angles, communément appelés roulis (ϕ), tangage (θ) et lacet (ψ), sont dérivés d'une matrice de rotation ou d'un quaternion. Ce calculateur est largement utilisé en aérospatiale, en robotique, en génie mécanique et en infographie pour convertir les données de rotation dans un format facile à interpréter et à appliquer.
Cet outil prend en charge diverses séquences de rotation, mais la norme courante est la convention Z–Y–X (lacet–tangage–roulis). Il permet une analyse et une visualisation précises de l'orientation des objets, notamment dans les simulations, les environnements virtuels et les systèmes de suivi de mouvement.
Formule de l'angle d'Euler
Étant donné une matrice de rotation 3×3 :
R =
| r₁₁ r₁₂ r₁₃ |
| r₂₁ r₂₂ r₂₃ |
| r₃₁ r₃₂ r₃₃ |
Les angles d'Euler pour la séquence Z–Y–X (lacet–tangage–roulis) sont calculés comme suit :
- θ (hauteur) = arcsin(−r₃₁)
- ϕ (rouleau) = arctan2(r₃₂, r₃₃)
- ψ (lacet) = arctan2(r₂₁, r₁₁)
Remarques :
- Les angles sont généralement exprimés en radians. Utilisez la conversion standard en degrés si nécessaire : degrés = radians × (180 / π).
- La arctan2 la fonction assure une gestion correcte des quadrants pour une couverture complète à 360°
- La matrice de rotation d'entrée doit être orthonormée, ce qui signifie qu'elle représente une rotation valide sans distorsion ni mise à l'échelle
Cette méthode fonctionne mieux pour les systèmes qui s’appuient sur l’interprétation de l’orientation en temps réel, comme la navigation, le contrôle des drones et la capture de mouvement.
Tableau de référence utile
Le tableau ci-dessous présente les valeurs couramment utilisées et leurs angles d'Euler correspondants dans la convention Z–Y–X :
| Élément de matrice de rotation | Angle d'Euler résultant | Description |
|---|---|---|
| r₃₁ = 0 | = 0° | Pas de terrain |
| r₃₁ = −1 | = 90° | Inclinaison droite vers le haut |
| r₃₁ = 1 | θ = −90° | Inclinaison droite vers le bas |
| r₃₂ = 0, r₃₃ = 1 | ϕ = 0° | Pas de rouleau |
| r₂₁ = 0, r₁₁ = 1 | ψ = 0° | Pas de lacet |
Cette référence aide les utilisateurs à vérifier les résultats attendus lors des tests ou du développement de simulation.
Exemple de calculateur d'angle d'Euler
Calculons les angles d'Euler pour une matrice de rotation :
R =
| 0.866 −0.5 0 |
| 0.5 0.866 0 |
| 0 0 1 |
Étape 1 : Identifier les éléments
- r₃₁ = 0
- r₃₂ = 0
- r₃₃ = 1
- r₂₁ = 0.5
- r₁₁ = 0.866
Étape 2 : Appliquer les formules
- θ = arcsin(−0) = 0
- ϕ = arctan2(0, 1) = 0
- ψ = arctan2(0.5, 0.866) ≈ 0.5236 radians ≈ 30°
Résultat:
- Roulis (ϕ) : 0°
- Pas (θ) : 0°
- Lacet (ψ) : 30°
Cela montre une rotation pure autour de l'axe Z, typique de nombreuses transformations 2D en 3D simplifiées.
FAQ les plus courantes
Les angles d'Euler servent à représenter l'orientation d'un corps ou d'un système de coordonnées dans l'espace 3D. Ils sont utilisés en animation, en dynamique de vol, en navigation et en robotique pour décrire les rotations dans un format lisible par l'homme.
Les angles d'Euler sont plus faciles à interpréter, mais peuvent être sujets à un blocage de cardan, une condition où les axes de rotation s'alignent. Les quaternions évitent ce problème et sont plus stables dans les simulations, mais plus difficiles à visualiser. Les angles d'Euler sont souvent dérivés des quaternions pour l'interprétation.
Oui. Selon le quadrant et le sens de rotation, les angles peuvent être positifs ou négatifs. La plupart des calculatrices peuvent afficher des angles sur une plage complète de −180° à 180° ou de 0° à 360°, selon le réglage.