La Calculadora del teorema del límite central (TLC) es una herramienta diseñada para ayudar a los estadísticos, investigadores y analistas de datos a aplicar el Teorema del Límite Central a un conjunto de datos determinado. El Teorema del Límite Central establece que cuando se toman repetidamente muestras aleatorias de una población, independientemente de la distribución de la población, la distribución de las medias de la muestra se acercará a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Este es un concepto crucial en la inferencia statistics porque permite el uso de aproximaciones de distribución normal incluso cuando la población no está distribuida normalmente.
Con esta calculadora, puede calcular propiedades importantes de la distribución de muestreo de la media de la muestra, como la media de la distribución de la muestra (que será igual a la media de la población) y la desviación estándar de la media de la muestra (conocida como el error estándar). La calculadora también se puede utilizar para determinar probabilidades e intervalos de confianza, lo que le ayudará a realizar inferencias estadísticas basadas en datos de muestra.
Calculadora de la fórmula del teorema del límite central
Para aplicar el Teorema del límite central (CLT), se requiere la siguiente información:
- Media poblacional (μ):La media de la población de la que se extrae la muestra.
- Desviación estándar de la población (σ):La desviación estándar de la población.
- Tamaño de la muestra (n):El número de observaciones en cada muestra.
El teorema del límite central nos dice que la distribución muestral de la media de la muestra será aproximadamente normal, independientemente de la distribución de la población, siempre que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande. La media y la desviación estándar de la distribución muestral se pueden calcular utilizando estas fórmulas:
Media de la distribución de la muestra:
μₓ̄ = μ
Desviación estándar de la distribución de la muestra (error estándar):
σₓ̄ = σ / √n
Lugar:
- μₓ̄ es la media de la distribución de la muestra (igual que la media de la población)
- σₓ̄ es la desviación estándar de la media de la muestra (también llamada error estándar)
- σ es la desviación estándar de la población
- n es el tamaño de la muestra
Si está interesado en encontrar probabilidades o intervalos de confianza utilizando CLT, el puntaje z se puede calcular como:
Fórmula de puntuación Z:
z = (x̄ - μₓ̄) / (σₓ̄)
Lugar:
- X es la media de la muestra
- μₓ̄ es la media de la distribución muestral
- σₓ̄ es la desviación estándar de la distribución de la muestra (error estándar)
Una vez calculado el puntaje z, puedes usarlo para encontrar probabilidades de la tabla de distribución normal estándar o calcular intervalos de confianza según el nivel de confianza deseado.
Términos generales para los cálculos del teorema del límite central
A continuación se muestra una tabla de referencia rápida de términos comunes relacionados con el Teorema del límite central:
| Término | Descripción original |
|---|---|
| Media poblacional (μ) | La media de toda la población. |
| Desviación estándar de la población (σ) | La desviación estándar de toda la población. |
| Tamaño de la muestra (n) | El número de observaciones tomadas de la población para una muestra. |
| Media de la muestra (x̄) | La media de una muestra dada de la población. |
| Error estándar (σₓ̄) | La desviación estándar de la media de la muestra, calculada como σ/√n. |
| Puntuación Z | Una estadística que indica cuántas desviaciones estándar hay entre la media de una muestra y la media de la población. |
| Distribución muestral | La distribución de probabilidad de las medias muestrales de múltiples muestras tomadas de una población. |
Esta tabla puede ser útil para los usuarios que intentan comprender mejor los diferentes elementos involucrados en los cálculos CLT y puede servir como referencia al trabajar con la Calculadora CLT.
Ejemplo de calculadora del teorema del límite central
Veamos un ejemplo para ilustrar cómo funciona la calculadora del teorema del límite central.
Dado:
- Media poblacional (μ): 50
- Desviación estándar de la población (σ): 10
- Tamaño de la muestra (n): 25
- Media de la muestra (x̄): 52
Paso 1: Calcular la media de la distribución de la muestra (μₓ̄)
Usando la fórmula:
μₓ̄ = μ = 50
Entonces, la media de la distribución de la muestra es 50.
Paso 2: Calcular el error estándar (σₓ̄)
Usando la fórmula:
σₓ̄ = σ / √n = 10 / √25 = 10 / 5 = 2
Entonces, el error estándar es 2.
Paso 3: Calcular la puntuación z
Usando la fórmula:
z = (x̄ - μₓ̄) / σₓ̄ = (52 - 50) / 2 = 2 / 2 = 1
Entonces, la puntuación z es 1.
Paso 4: Busque el puntaje z
Si se utiliza una tabla de distribución normal estándar, una puntuación z de 1 corresponde a una probabilidad acumulada de aproximadamente 0.8413. Esto significa que la media de la muestra de 52 es superior a la media de la población de 50, y que existe una probabilidad de aproximadamente el 84.13 % de que una muestra seleccionada al azar tenga una media inferior a 52.
Preguntas frecuentes más comunes
El teorema del límite central (TLC) establece que, independientemente de la distribución de la población, la distribución de las medias de la muestra se aproximará a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Esto es así incluso si la población original no se distribuye normalmente, lo que convierte al TLC en una herramienta poderosa para la estadística inferencial.
En general, se considera que un tamaño de muestra de 30 o más es lo suficientemente grande para que se aplique el Teorema del Límite Central, ya que garantiza que la distribución de muestreo de la media de la muestra será aproximadamente normal. Sin embargo, en los casos en que la distribución de la población está muy sesgada, puede ser necesario un tamaño de muestra mayor para lograr una buena aproximación.
Si el tamaño de la muestra es pequeño (menos de 30), el teorema del límite central puede no ser aplicable, especialmente si la distribución de la población no es normal. Para tamaños de muestra pequeños, es importante verificar si la población en sí misma está distribuida normalmente, ya que esto afecta la confiabilidad del uso del teorema del límite central para la aproximación.