La Calculadora de volumen giratorio ayuda a visualizar y calcular el volumen de sólidos de revolución. Estos sólidos se forman cuando un área plana se gira alrededor de una línea (eje) al lado del área, formando un sólido tridimensional.
Calculadora de fórmula de volumen giratorio
El volumen de sólidos de revolución se calcula mediante cálculo integral. Aquí están los cálculos basados en el eje de rotación:
Rotación sobre el eje X: Para una forma definida por la curva y = f(x), de x = a a x = b, el volumen V se calcula mediante: V = integral de a a b de pi [f(x)]^2 dx Aquí, pi representa la constante pi, y [f(x)]^2 es la distancia al cuadrado desde la curva hasta el eje x, integral entre los límites de a a b.
Rotación sobre el eje Y: Para una forma donde x = g(y) de y = c a y = d, el volumen V se calcula como: V = integral de c a d de pi [g(y)]^2 dy Esta fórmula también implica integrar la distancia al cuadrado desde la curva hasta el eje y en el intervalo de y = c a y = d.
Herramientas y tabla de conversión
| Forma | Descripciones | Fórmula para el volumen (rotación del eje X) | Fórmula para el volumen (rotación del eje Y) |
|---|---|---|---|
| Cilindro | Radio r, Altura h | Volumen = pi * r^2 * h | Volumen = pi * r^2 * h |
| Cono | Radio r, Altura h | Volumen = (1/3) * pi * r^2 * h | Volumen = (1/3) * pi * r^2 * h |
| Esfera | Radio r | Volumen = (4/3) * pi * r^3 | Volumen = (4/3) * pi * r^3 |
| Toro | Radio mayor R, Radio menor r | Volumen = 2 * pi^2 * R * r^2 | Volumen = 2 * pi^2 * R * r^2 |
Ejemplo de calculadora de volumen giratorio
Veamos un ejemplo del uso de la Calculadora de volumen giratorio con una región semicircular. Supongamos que tenemos un semicírculo definido por la ecuación y = sqrt(r^2 - x^2), donde r es el radio de el semicírculo. Queremos calcular el volumen del sólido que se forma cuando este semicírculo gira alrededor del eje x.
Cálculo paso a paso:
- Identificar la forma y la ecuación:
- La forma es un semicírculo.
- La ecuación que define esta forma es y = sqrt(r^2 - x^2).
- Determine el eje de rotación:
- El semicírculo gira alrededor del eje x.
- Configure la fórmula de volumen:
- La fórmula para calcular el volumen al girar alrededor del eje x es:
- V = integral de -r a r de pi [sqrt(r^2 - x^2)]^2 dx
- La fórmula para calcular el volumen al girar alrededor del eje x es:
- Simplifica la ecuación:
- La integral se simplifica a pi multiplicado por la integral de -r a r de (r^2 - x^2) dx.
- Calcular la integral:
- La integral de (r^2 - x^2) de -r a r es igual a 2/3 pi r^3. Este cálculo se puede realizar dividiendo la integral en r^2x - x^3/3 y evaluando de -r a r.
- Calcular el volumen:
- Sustituye el resultado de la integral en la fórmula del volumen:
- V = pi * 2/3 pi r^3 = 4/3 pi r^3
- Sustituye el resultado de la integral en la fórmula del volumen:
Conclusión:
El volumen del sólido que se forma al girar el semicírculo dado alrededor del eje x es 4/3 pi r^3. Este ejemplo ilustra cómo utilizar la Calculadora de volumen giratorio para simplificar el proceso de cálculo de volúmenes, convirtiéndola en una herramienta práctica para aplicaciones educativas y profesionales.
Preguntas frecuentes más comunes
Es una figura sólida que se obtiene girando un plano curvo alrededor de una línea (el eje de rotación) que se encuentra en el mismo plano.
La calculadora utiliza precisión matemático fórmulas para garantizar cálculos de volumen precisos, siempre que los valores de entrada sean correctos.
La calculadora es muy versátil pero funciona mejor con formas geométricas comunes y funciones matemáticas bien definidas.