Una calculadora de ecuaciones cónicas ayuda a determinar el tipo y las características de una sección cónica en función de su ecuación. Las secciones cónicas, incluidos círculos, elipses, parábolas y hipérbolas, son parte integral de la geometría y tienen aplicaciones en física, ingeniería y astronomía. La calculadora simplifica el proceso de clasificación de secciones cónicas y extracción de parámetros críticos como el centro, el radio, los ejes, los vértices y los focos.
Calculadora de la fórmula de la ecuación cónica
Ecuación cónica general
La ecuación general para una sección cónica es:
Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0
Lugar:
- A, B, C, D, E y F son constantes que definen el tipo y la orientación de la cónica.
Paso 1: Identificar el tipo cónico
El tipo de sección cónica está determinado por el discriminante (Δ):
Discriminante (Δ) = B^2 – 4AC
- Si Δ < 0 y A = C, la cónica es un círculo.
- Si Δ < 0 y A ≠ C, la cónica es una Elipse.
- Si Δ = 0, la cónica es una parábola.
- Si Δ > 0, la cónica es una hipérbola.
Paso 2: Formas estándar para cónicas
- Círculo
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2- Centro: (h, k)
- Radio: r
- Elipse
((x – h)^2 / a^2) + ((y – k)^2 / b^2) = 1- Centro: (h, k)
- Eje mayor: 2a
- Eje menor: 2b
- Parábola
- Vertical: (x – h)^2 = 4p(y – k)
- Horizontal: (y – k)^2 = 4p(x – h)
- Vértice: (h, k)
- Enfoque: Distancia p desde el vértice
- Hipérbola
- ((x – h)^2 / a^2) – ((y – k)^2 / b^2) = 1
- ((y – k)^2 / b^2) – ((x – h)^2 / a^2) = 1
- Centro: (h, k)
- Distancia entre focos: 2c, donde c = sqrt(a^2 + b^2)
Paso 3: Transformar la ecuación general
- Reordene los términos para agrupar x e y.
- Completa el cuadrado para reescribir la ecuación en forma estándar.
- Identificar clave parámetros (h, k, a, b, r, p) de la forma estándar.
Tabla general de cónicas comunes y características
| Tipo cónico | Forma de ecuación general | Parámetros clave |
|---|---|---|
| Círculo | (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 | Centro: (h, k), Radio: r |
| Elipse | ((x – h)^2 / a^2) + ((y – k)^2 / b^2) = 1 | Centro: (h, k), Ejes: 2a, 2b |
| Parábola | (x – h)^2 = 4p(y – k) o (y – k)^2 = 4p(x – h) | Vértice: (h, k), Foco: p |
| Hipérbola | ((x – h)^2 / a^2) – ((y – k)^2 / b^2) = 1 | Centro: (h, k), Focos: 2c |
Ejemplo de calculadora de ecuación cónica
Problema: Clasificar la cónica y extraer parámetros
Ecuación: 4x^2 + 9y^2 – 36 = 0
- Reorganizar:
4x^2 + 9y^2 = 36
Dividir por 36:
(x^2 / 9) + (y^2 / 4) = 1 - Esta es la forma estándar de una elipse:
- Centro: (0, 0)
- Eje mayor: 2a = 6 (a = 3)
- Eje menor: 2b = 4 (b = 2)
Preguntas frecuentes más comunes
Una sección cónica es una curva que se obtiene al intersecar un plano con un cono de doble filo. Entre los tipos de sección cónica se encuentran los círculos, las elipses, las parábolas y las hipérbolas.
El discriminante (Δ = B^2 – 4AC) clasifica las cónicas. Si Δ < 0, la cónica es un círculo o una elipse; si Δ = 0, es una parábola; si Δ > 0, es una hipérbola.
Sí, para las cónicas rotadas donde B ≠ 0, la calculadora incluye pasos para tener en cuenta la rotación y redefine la ecuación en consecuencia.