La calculadora de determinantes de cofactores es una herramienta que simplifica el proceso de determinación del determinante de una matriz mediante el método de expansión de cofactores. Los determinantes son fundamentales en el álgebra lineal, ya que se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones, encontrar valores propios y evaluar la invertibilidad de matrices. La calculadora automatiza el laborioso proceso de calcular matrices menores. cofactores, y su suma para proporcionar un valor determinante preciso.
Esta herramienta es invaluable para estudiantes, ingenieros e investigadores que trabajan en matemático Modelado, física y problemas computacionales que involucran matrices.
Calculadora de la fórmula del determinante del cofactor
El determinante de una matriz A se calcula mediante la fórmula:
Lugar:
- Det(A) es el determinante de la matriz A.
- aᵢⱼ es el elemento de la matriz en la i-ésima fila y j-ésima columna.
- Cᵢⱼ es el cofactor de aᵢⱼ, dado por: Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ
- Mᵢⱼ es el determinante de la matriz menor que se obtiene al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz.
Fórmulas detalladas
- Determinante de la Matriz Menor (Mᵢⱼ):
Para una matriz menor de tamaño (n-1) x (n-1), el determinante se calcula recursivamente como:
Mᵢⱼ = Σ (-1)^(k+1) × a1k × Determinante del submenor
Lugar:
- a1k representa los elementos de la primera fila de la matriz menor.
- El determinante del Submenor se calcula recursivamente hasta llegar a la matriz más pequeña (2×2).
- Determinante de una matriz 2×2:
Para una matriz de 2×2:
[a partir]
[cd]
Determinante (2×2) = (a × d) – (b × c)
- Cofactor (Cᵢⱼ):
Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ - Sustituir en la fórmula determinante:
Det(A) = Σ (aᵢⱼ × Cᵢⱼ)
Esta suma se aplica a todos los elementos de una fila o columna elegida de la matriz.
Tabla para cálculos de determinantes comunes
| Tamaño de la matriz | Ejemplo de matriz (simplificada) | Valor determinante |
|---|---|---|
| 2 × 2 | [2 3] [4 5] | (2×5) – (3×4) = -2 |
| 3 × 3 | [1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] | Determinante = 0 |
| 3 × 3 | [1 0 2] [0 3 0] [4 0 5] | Determinante = -35 |
Esta tabla proporciona ejemplos precalculados para ayudar a los usuarios a comprender los cálculos de determinantes para tamaños de matrices comunes.
Ejemplo de calculadora de determinante de cofactor
Calculemos el determinante de una matriz 3×3:
Matriz A:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
- Seleccione la primera fila para expansión:
Det(A) = a₁₁ × C₁₁ + a₁₂ × C₁₂ + a₁₃ × C₁₃
= 1 × C₁₁ + 2 × C₁₂ + 3 × C₁₃ - Encuentra matrices menores y cofactores:
C₁₁ = (-1)^(1+1) × M₁₁ = M₁₁ = Determinante de: [5 6] [8 9] = (5×9) – (6×8) = -3
C₁₂ = (-1)^(1+2) × M₁₂ = -M₁₂ = – Determinante de: [4 6] [7 9] = -(4×9 – 6×7) = 6
C₁₃ = (-1)^(1+3) × M₁₃ = M₁₃ = Determinante de: [4 5] [7 8] = (4×8) – (5×7) = -3 - Sustituir cofactores en la fórmula:
Det(A) = 1 × (-3) + 2 × 6 + 3 × (-3)
Det(A) = -3 + 12 – 9 = 0
El determinante de la matriz A es 0.
Preguntas frecuentes más comunes
El determinante ayuda a evaluar si una matriz es invertible, a resolver sistemas de ecuaciones lineales y a comprender las transformaciones matriciales.
Sí, la calculadora puede calcular determinantes para matrices de cualquier tamaño automatizando el recursiva cálculos de menores y cofactores.
Si el determinante es cero, la matriz es singular, lo que significa que no tiene inversa y sus filas o columnas son linealmente dependientes.