Das Rechner zur Division komplexer Zahlen ist eine mathematisch Werkzeug, das die Division zweier komplexer Zahlen vereinfacht. Komplexe Zahlen bestehen aus einem Realteil und einem Imaginärteil, geschrieben in der Form z = a + bi, Wobei i ist das Quadratwurzel von -1. Dieser Rechner führt die Division zweier komplexer Zahlen schnell und genau durch, indem er die konjugierte Methode verwendet. Er macht manuelle Berechnungen überflüssig und gewährleistet Präzision bei gleichzeitiger Einsparung ZeitDieses Werkzeug gehört zu den Mathematik-Rechner Kategorie und ist ideal für Studenten, Ingenieure und Fachleute, die Arbeit mit komplexen Zahlenberechnungen.
Formel des Divisionsrechners für komplexe Zahlen
Wenn die beiden komplexen Zahlen sind:
- Zähler: z₁ = a + bi
- Nenner: z₂ = c + di
Die Division erfolgt nach der Formel:
z₁ / z₂ = [(a + bi) × (c – di)] / (c² + d²)
Kennzahlen:
- a = Realteil des Zählers
- b = Imaginärteil des Zählers
- c = Realteil des Nenners
- d = Imaginärteil des Nenners
Schritte zur Berechnung:
- Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit der Konjugation des Nenners:
- Das Konjugat von (c + di) is (c – di).
Damit z₁ × konjugiert(z₂) = (a + bi) × (c – di).
- Das Konjugat von (c + di) is (c – di).
- Verwenden Sie das Distributivgesetz: (a + bi)(c – di) = ac – adi + bci – bdi².
- Vereinfachen Sie die Verwendung ich² = -1: Ersetzen ich² mit -1, was zu folgendem Ergebnis führt: (ac + bd) + (bc – ad)i.
- Teilen Sie das Ergebnis durch den Betrag im Quadrat des Nenners: Der Betrag im Quadrat von z₂ is |z₂|² = c² + d².
- Kombinieren und vereinfachen: z₁ / z₂ = [(ac + bd) + (bc – ad)i] / (c² + d²).
Vorberechnete Ergebnistabelle
Nachfolgend finden Sie eine Tabelle mit allgemeinen Ergebnissen zum Dividieren einiger häufiger komplexer Zahlen ohne manuelle Berechnungen.
| Zähler (z₁) | Nenner (z₂) | Ergebnis (z₁ / z₂) |
|---|---|---|
| 1 + ich | 1 + ich | 1 |
| 2 + 3 Ich | 1 + ich | 2.5 + 0.5 Ich |
| 1 + 2 Ich | 2 – ich | 0 + 1 Ich |
| 3 + 4 Ich | 1 + 2 Ich | 2.2 - 0.4i |
| 2 + ich | 2 + 2 Ich | 0.75 - 0.25i |
Mithilfe dieser Tabelle können Benutzer ihre Divisionsergebnisse schnell überprüfen.
Beispiel eines Divisionsrechners für komplexe Zahlen
Dividieren wir zwei komplexe Zahlen: z₁ = 3 + 2i und z₂ = 1 – i.
- Schreiben Sie die Konjugierte des Nenners: Konjugierte von 1 – ich is 1 + ich.
- Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit der Konjugation:
(3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i². - Vereinfachen Sie die Verwendung ich² = -1:
3 + 3i + 2i + 2(-1) = 3 + 3i + 2i – 2 = 1 + 5i. - Finden Sie den Modul im Quadrat des Nenners: (1 – i)(1 + i) = 1 – i² = 1 – (-1) = 2.
- Teilen Sie das Ergebnis durch das Quadrat des Moduls:
z₁ / z₂ = (1 + 5i) / 2 = 0.5 + 2.5i.
Das Endergebnis ist 0.5 + 2.5 Ich.
Die häufigsten FAQs
Die Konjugation einer komplexen Zahl z = a + bi is z̅ = a – bi. Es hat den gleichen Realteil, aber den entgegengesetzten Imaginärteil.
Durch Multiplikation mit der konjugierten Zahl wird der Imaginärteil im Nenner eliminiert, wodurch die Division einfacher wird und ein reeller Nenner entsteht.
Der Modul im Quadrat von z = c + di is |z|² = c² + d². Es repräsentiert die Summe der Quadrate der Real- und Imaginärteile.