Der Gaußsche Eliminierungsrechner ist ein leistungsstarker Rechner mathematisch Werkzeug zur Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe einer Methode, die als Gaußsche Eliminierung bekannt ist. Dieser Prozess umfasst drei Arten elementarer Zeilenoperationen, die die Matrix in eine Form vereinfachen, die leicht interpretiert werden kann, um die Lösungen zu finden. Diese Lösungen sind in Bereichen von Ingenieurwesen bis hin zu Wirtschaftswissenschaften von zentraler Bedeutung und machen den Taschenrechner zu einem unverzichtbaren Werkzeug für Studenten, Berufstätige und Forscher.
Grundlegende Zeilenoperationen
- Zeilenwechsel (Austausch): Vertauschen Sie zwei Zeilen der Matrix.
- Zeilenskalierung (Multiplikation): Multiplizieren Sie alle Elemente einer Zeile mit einem Skalar ungleich Null.
- Zeilenaddition (oder Subtraktion): Addiere (oder subtrahiere) ein skalares Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile.
Gaußscher Eliminierungsalgorithmus
- Vorwärtseliminierung: Konvertieren Sie die Matrix in eine Zeilenstufenform.
- Zurück Substitution: Lösen Sie das resultierende Gleichungssystem durch Substitution.
Formeln des Gaußschen Eliminierungsrechners
Bezeichnen wir die erweiterte Matrix als [A | b], wobei A die Koeffizientenmatrix und b der Spaltenvektor der Konstanten ist.
- Reihenwechsel: Um die Zeilen i und j zu vertauschen, führen Sie Ri <-> Rj aus.
- Zeilenskalierung: Um Zeile i mit einem Skalar k zu multiplizieren, führen Sie Ri -> k * Ri aus.
- Zeilenaddition (oder Subtraktion): Um ein Vielfaches k von Zeile j zu (von) Zeile i zu addieren (oder zu subtrahieren), führen Sie Ri -> Ri + k * Rj aus.
Umrechnungstabelle für allgemeine Begriffe
Die folgende Tabelle enthält allgemeine Begriffe und ihre Definitionen, um das Verständnis und die effektive Nutzung des Gaußschen Eliminierungsrechners zu erleichtern:
| Bedingungen | Definition |
|---|---|
| Lineares System | Eine Sammlung linearer Gleichungen mit demselben Variablensatz. |
| Koeffizientenmatrix | Eine Matrix bestehend aus Koeffizienten der Variablen in den linearen Gleichungen. |
| Erweiterte Matrix | Eine Matrix, die durch Anhängen der Konstanten der Gleichungen als zusätzliche Spalte an die Koeffizientenmatrix erhalten wird. |
| Reihenstufenform | Eine Form einer Matrix, bei der alle führenden Einträge 1-en und alle Elemente unter diesen führenden Einträgen 0-en sind. |
| Führender Eintrag | Das erste Nicht-Null-Element in einer Reihe, bewegt sich von links nach rechts. |
| Zurück Substitution | Eine Methode zum Finden der Lösung eines Systems, sobald die Matrix in Zeilenstufenform vorliegt. |
Beispiel eines Gaußschen Eliminierungsrechners
Aufgabe: Lösen Sie das Gleichungssystem gegeben durch:
3x + 4y – z = 5
2x – 2y + 4z = -2
-x + 0.5y – z = 0
Lösung mittels Gaußscher Eliminierung:
- Konstruieren Sie die erweiterte Matrix:
| 3 4 -1 | 5 |
| 2 -2 4 | -2 |
| -1 0.5 -1 | 0 |
- Wenden Sie Zeilenoperationen an, um die Zeilenstufenform zu erreichen:
R2 -> R2 - (2/3)R1R3 -> R3 + (1/3)R1
- Weitere Vereinfachung zum Erreichen der Zeilenstufenform:
- Setzen Sie die Zeilenoperationen fort, bis der linke Teil der erweiterten Matrix (Koeffizientenmatrix) eine obere Dreiecksmatrix bildet.
- Zurück-Substitution, um die Lösungen zu finden:
- Vereinfachen Sie die obere Dreiecksmatrix und lösen Sie die Variablen mithilfe der Rücksubstitution auf.
Resultierendes System in Zeilenstufenform:
| 3 4 -1 | 5 |
| 0 -4.67 5.33 | -4.33 |
| 0 0 -0.33 | 0.33 |
Endgültiger Lösungssatz:
x = 3, y = 2, z = -1
Die häufigsten FAQs
Die Gaußsche Eliminierung wird zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet. Mithilfe elementarer Zeilenoperationen wird das System in eine Dreiecksmatrixform umgewandelt, sodass die Variablen leichter systematisch gelöst werden können.
Der Gaußsche Eliminierungsrechner ist sehr genau, vorausgesetzt, die Eingabedaten sind korrekt und die Gleichungen bilden keine singuläre (nicht invertierbare) Matrix, wodurch sichergestellt wird, dass das System eine eindeutige Lösung hat oder konsistent ist.
Ja, die Gaußsche Eliminierung kann Matrizen jeder Größe verarbeiten, einschließlich nichtquadratischer Matrizen. Bei nichtquadratischen Matrizen ist das System jedoch möglicherweise unterbestimmt (mehr Variablen als Gleichungen) oder überbestimmt (mehr Gleichungen als Variablen), und Sonderfälle wie diese erfordern zusätzliche Schritte oder Anpassungen im Eliminierungsprozess.