Der Euler-Winkelrechner berechnet die drei Winkel, die die Ausrichtung eines starren Körpers im dreidimensionalen Raum beschreiben. Diese Winkel – allgemein bekannt als Rollwinkel (ϕ), Nickwinkel (θ) und Gierwinkel (ψ) – werden entweder aus einer Rotationsmatrix oder einem Quaternion abgeleitet. Der Rechner wird häufig in der Luft- und Raumfahrt, der Robotik, dem Maschinenbau und der Computergrafik eingesetzt, um Rotationsdaten in ein leicht zu interpretierendes und anwendbares Format zu konvertieren.
Dieses Tool unterstützt verschiedene Rotationssequenzen, wobei die Z-Y-X-Konvention (Gier-Neigung-Rollen) ein gängiger Standard ist. Es ermöglicht eine präzise Analyse und Visualisierung von Objektorientierungen, insbesondere in Simulationen, virtuellen Umgebungen und Bewegungsverfolgungssystemen.
Formel des Eulerwinkelrechners
Gegeben sei eine 3×3-Rotationsmatrix:
R =
| r₁₁ r₁₂ r₁₃ |
| r₂₁ r₂₂ r₂₃ |
| r₃₁ r₃₂ r₃₃ |
Die Eulerwinkel für die Z–Y–X-Sequenz (Gier-Nick-Roll-Sequenz) werden wie folgt berechnet:
- θ (Tonhöhe) = arcsin(−r₃₁)
- ϕ (Rolle) = arctan2(r₃₂, r₃₃)
- ψ (Gieren) = arctan2(r₂₁, r₁₁)
Anmerkungen:
- Winkel werden üblicherweise im Bogenmaß angegeben. Verwenden Sie bei Bedarf die Standardumrechnung in Grad: Grad = Bogenmaß × (180 / π)
- Die arctan2 Funktion gewährleistet korrekte Quadrantenhandhabung für volle 360°-Abdeckung
- Die Eingaberotationsmatrix muss orthonormal sein, d. h. sie stellt eine gültige Rotation ohne Verzerrung oder Skalierung dar.
Diese Methode eignet sich am besten für Systeme, die auf einer Echtzeit-Orientierungsinterpretation basieren, wie etwa Navigation, Drohnensteuerung und Bewegungserfassung.
Hilfreiche Referenztabelle
Die folgende Tabelle zeigt häufig verwendete Werte und ihre entsprechenden Eulerwinkel in der Z–Y–X-Konvention:
| Rotationsmatrixelement | Resultierender Eulerwinkel | Beschreibung |
|---|---|---|
| r₃₁ = 0 | = 0° | Keine Tonhöhe |
| r₃₁ = −1 | = 90° | Gerade Neigung nach oben |
| r₃₁ = 1 | θ = −90° | Gerade Neigung nach unten |
| r₃₂ = 0, r₃₃ = 1 | ϕ = 0° | Keine Rolle |
| r₂₁ = 0, r₁₁ = 1 | ψ = 0° | Kein Gieren |
Mithilfe dieser Referenz können Benutzer während der Test- oder Simulationsentwicklung die erwarteten Ergebnisse überprüfen.
Beispiel für einen Euler-Winkelrechner
Berechnen wir die Eulerwinkel für eine Rotationsmatrix:
R =
| 0.866 −0.5 0 |
| 0.5 0.866 0 |
| 0 0 1 |
Schritt 1: Elemente identifizieren
- r₃₁ = 0
- r₃₂ = 0
- r₃₃ = 1
- r₂₁ = 0.5
- r₁₁ = 0.866
Schritt 2: Wenden Sie die Formeln an
- θ = arcsin(−0) = 0
- ϕ = arctan2(0, 1) = 0
- ψ = arctan2(0.5, 0.866) ≈ 0.5236 Radianten ≈ 30°
Ergebnis:
- Rollwinkel (ϕ): 0°
- Neigung (θ): 0°
- Gieren (ψ): 30°
Dies zeigt eine reine Rotation um die Z-Achse, wie sie bei vielen vereinfachten 2D-zu-3D-Transformationen typisch ist.
Die häufigsten FAQs
Eulerwinkel dienen zur Darstellung der Ausrichtung eines Körpers oder Koordinatensystems im dreidimensionalen Raum. Sie werden in der Animation, Flugdynamik, Navigation und Robotik eingesetzt, um Rotationen in einem menschenlesbaren Format darzustellen.
Eulerwinkel sind leichter zu interpretieren, können aber unter „Gimbal Lock“ leiden, einem Zustand, bei dem sich Rotationsachsen ausrichten. Quaternionen vermeiden dieses Problem und sind in Simulationen stabiler, aber schwieriger zu visualisieren. Eulerwinkel werden zur Interpretation häufig aus Quaternionen abgeleitet.
Ja. Je nach Quadrant und Drehrichtung können die Winkel positiv oder negativ sein. Die meisten Rechner können Winkel je nach Einstellung im Bereich von −180° bis 180° oder von 0° bis 360° ausgeben.